随着煤炭资源的大规模开发, 矿区地表沉陷对周边环境产生了严重影响。对矿区地表沉降进行监测及预测,

能够为煤矿安全开采、生态保护、周边居民生命财产安全等提供有效的保障。矿区监测点沉降监测过程中,

由于观测仪器、人员操作及外界环境等因素的影响, 高程数据不可避免地会有粗差存在, 对观测数据粗差

的处理将直接影响矿区地表沉降变形预测的实际吻合效果[1]。本研究采用双曲线拟合模型, 结合抗差估计

法解决监测数据粗差对模型拟合的影响。预测算例证明, 抗差估计法能够很好地克服最小二乘拟合不能抵

抗粗差的缺点, 更加精确地预测矿区地表的沉降变形情况, 以便提前采取措施, 防止安全事故发生。

1 模型及算法
矿区地表沉降变形预测一般采用双曲线拟合模型。当沉降观测数据服从正态分布时, 最小二乘法具有优化

统计的性质;若沉降观测数据中存在粗差, 可采用抗差估计法进行抗粗差处理。

1.1 双曲线拟合模型
双曲线拟合方程为当前较常用的沉降变形拟合模型, 为了方便绘图与编程, 其方程式为:

 
式中, , x=t-t0。St、S0分别为时间t (t>0) 时刻沉降值与t=0的时刻沉降值 (即初始沉降值) ;a、b分别

为待求定的沉降监测数据拟合出的斜截距及斜率[2]。

1.2 最小二乘原理
最小二乘平差模型的误差方程式为:

 
式中, V为观测值改正数向量;B为观测值系数矩阵;为待求的未知参数向量;L为观测向量[3]。

根据最小二乘准则, ΣPiVi2=min, 得:

 
式 (3) 中, P为观测向量的权矩阵;DXX为的协方差矩阵;为协方差估值。

1.3 抗差估计理论
抗差估计理论用于地表沉降规律预测是当沉降观测值存在粗差的情况下, 利用抗差权函数重新定权, 降低

沉降粗差观测值在双曲线拟合模型未知参数估算时的作用, 从而提高矿区地表沉降预测的实际吻合度[4,5]

。

该算法用于地表沉降预测双曲线拟合模型的具体步骤为:

(1) 按照式 (2) 建立误差方程式;

(2) 采用最小二乘公式X1= (BTP0B) -1BTP0L计算初始转换参数及残差值v1=BX1-L, 根据式计算等加权阵;

(3) 选择抗差权函数 (如IGGIII) 迭代计算。若前后两次未知参数差值绝对值均小于给定限差 () 时, 停

止迭代, 得出最终的等价权阵, 求出最终斜截距a及b斜率代入式 (1) 便可预测出矿区地表沉降监测点的沉

降量。

2 算例分析
由于地面沉降点变形预测是独立的, 可不考虑监测点变形间的相关性。从安徽省某矿区的地表沉降监测网

中选择其中一点18个观测周期的观测数据参与沉降预测分析, 其实测的18期沉降数据如表1所示。

表1 矿区某沉降监测点18期沉降观测实际数据     下载原表

 表1 矿区某沉降监测点18期沉降观测实际数据
2.1 无粗差情况下精度对比
当该观测点的沉降量不含粗差的情况下, 采用Matlab编程计算得出式 (1) 双曲线拟合方程的最小二乘拟合

未知参数a1=10.042 45, b1=0.067 82;抗差估计拟合未知参数a2=10.083 59, b2=0.067 51。单独从参数看

似乎相差不多, 但通过计算两种算法中的误差分别为:m1=0.302 58, m2=0.401 591, m3=0.30302。可以看

出, 当沉降监测点观测高程无粗差存在时, 最小二乘拟合与抗差估计法精度相当, 二者较之抗差估计精度

要高。结合双曲线拟合方程, 分别采用上述两种算法Matlab编程预测该监测点各期沉降量如图1及表2所示

。

 图1 观测数据无粗差时3种算法的沉降量拟合图
图1 观测数据无粗差时3种算法的沉降量拟合图   下载原图

表2 无粗差时3种拟合算法沉降量拟合值与实际观测值对比     下载原表

 表2 无粗差时3种拟合算法沉降量拟合值与实际观测值对比
从表2及图1可以看出, 当观测点的沉降量不含粗差时, 最小二乘、抗差估计两种方法拟合出的曲线几乎重

合, 且与沉降实际观测值十分接近, 即两种方法均能用于矿区沉降监测点沉降量的预测。

2.2 含粗差情况下精度对比
为更好地比较上述两种算法在矿区地表沉降预测中的精度, 人为地在14、112两个周期的沉降量上加入-1.4

mm与+1.4 mm的粗差, 分别采用上述两种算法编程计算出各自的位置参数为a1′=9.742 6, b1′=0.071

63;a2′=10.055 03, b2′=0.067 98;a3′=10.042 41, b3′=0.067 85。

可以看出两种算法计算得出的未知参数斜截距及斜率不同, 且最小二乘拟合法得出的参数与无粗差时偏离

较大, 抗差估计法得出的未知参数斜截距及斜率与无粗差时基本一致。通过计算两种算法中的误差看出,

m1′=0.684 88, m2′=0.401 591, m3′=0.400 601。因此, 当沉降监测点观测高程有粗差存在时, 最小二

乘拟合法较之抗差估计法精度要低。为了更加形象地反映粗差情况下两种预测模型的效果, 分别做出两种

算法拟合后的沉降量与实测沉降量差值表及沉降拟合图, 如见图2、表3所示。

 图2 观测数据有粗差时两种算法的沉降量拟合图
图2 观测数据有粗差时两种算法的沉降量拟合图   下载原图

表3 有粗差时3种拟合算法沉降量拟合值与实际观测值对比     下载原表

 表3 有粗差时3种拟合算法沉降量拟合值与实际观测值对比
从表3及图2看出, 当观测点的沉降量含粗差时, 最小二乘拟合法拟合得出的沉降量与实际偏离较大, 拟合

曲线偏离实际沉降观测量曲线较多;抗差估计法拟合出的曲线几乎重合, 更加接近实测数据, 预测沉降量更

加稳定。

3 结束语
矿区沉降观测数据无粗差时, 最小二乘拟合、抗差估计法均能很好地预测矿区地表的沉降情况;当沉降观测

数据有粗差存在时, 最小二乘拟合法沉降量预测偏离沉降量实际观测值较大, 而抗差估计法能很好地预测

矿区地表的沉降情况, 具有较好的抗差性。因此, 为保证矿区的安全生产, 应选择抗差性好的抗差估计法

预测矿区地表的沉降。