0 引言
随着2000国家大地坐标系的推行,现有的西安80及北京54坐标系下的大量资料需要转换到2000坐标系中来,

以实现新旧地图资料定位的统一。[1]对于大区域空间直角坐标之间的相互转换,本文提出采用多项式拟合

的方法进行坐标之间的转换。[2]这里将以80坐标转换到2000坐标为例,通过与布尔莎七参数转换法对比分

析,选取有效的拟合方法,为大区域空间坐标转换提供新的思路。

1 坐标转换多项式拟合法
1.1 二次多项式坐标拟合原理
为实现空间直角坐标间的转换,本文采用式(1)的二次多项式拟合新坐标:

 
式中,(X2,Y2,Z2)、(X1,Y1,Z1)分别为新旧坐标系统下的空间直角坐标

值;a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7为相应的未知转换参数。

在转换过程中,每个公共点可以建立3个转换方程,而多项式拟合下的空间直角坐标转换中未知参数有21个。

因此,如果有m(m≥7)个公共点,即可建立3m个方程,完成不同坐标系之间的相互转换。

转换过程中,可先利用重合点空间直角坐标,采用最小二乘准则计算出以上方程中的转换参数,再将待转换旧

坐标值代入公式(1)便可求得控制区域内其它各点在新坐标系当中的新坐标值。在上述的转换当中,采用经

纬度坐标进行多项式拟合转换同样可行。

1.2 三次多项式坐标拟合原理
三次多项式拟合坐标公式为:

 
式中,(X2,Y2,Z2)、(X1,Y1,Z1)分别为新、旧坐标系中的空间直角坐标

值;a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,为相应的未知转换参

数。

在转换过程中,每个重合点可以列出3个方程,因为该方程式有24个未知参数,可先利用n(n≥8)组重合点空间

直角坐标(X2i,Y2i,Z2i),(X1i,Y1i,Z1i),采用最小二乘准则计算出以上方程中的转换参数,然后便可利用求

得的转换参数计算出控制区域内其它各点在新坐标系当中的新坐标值。坐标转换多项式拟合法程序编写流

程如图1所示:

 图1 多项式拟合法程序编写流程图
图1 多项式拟合法程序编写流程图   下载原图

1.3 算例验证
从已知控制网(面积约18.7万平方公里)中选择15个控制点,其三维空间直角坐标如表1所示。以下分别采用

二次及三次多项式拟合法进行空间直角坐标的转换。

(1)二次多项式拟合法。从表1中均匀的取C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7七个点作为重合点求取转换参数,同时选择

剩下控制点中的8个点用于精度的检核,如表2所示。

表1 已知重合点三维坐标值     下载原表

 表1 已知重合点三维坐标值
表2 二次多项式拟合法坐标转换内、外符合精度     下载原表

 表2 二次多项式拟合法坐标转换内、外符合精度
根据表2可以计算出:

 
(2)三次多项式拟合法。从表1中均匀的选取C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7及J8点作为重合点求取未知转换参数,同

时选择剩下的7个点用于精度检核,如表3所示。

通过Matlab语言编程计算,得出的坐标转换参数如下:

 
表3 三次多项式拟合法坐标转换内、外符合精度     下载原表

 表3 三次多项式拟合法坐标转换内、外符合精度
根据表3可以计算出:

 
 
(3)布尔莎七参数模型转换法。布尔莎(Bursa)七参数的变换公式为:

 
式中,(XT,TT,ZT)为新坐标系下的坐标值,(XG,TG,ZG)为原坐标系下坐标,(dx,dy,dz)T为坐标转换时的3个坐

标平移参数,K为缩放比例尺度参数,εx,εy,εz为旋转参数。[3] 布尔莎模型在求解转换参数时,至少需要

3个已知的公共点参与。每个点可以列出3个误差方程式为:

 
利用最小二乘原理即可求解出7个转换参数,再利用转换参数计算其它点在新坐标系下的空间直角坐标。选

择表1中的C1,C2,C6及C7为公共点,剩下为检核点,转换结果如表4所示。

表4 布尔莎七参数法坐标转换内、外符合精度     下载原表

 表4 布尔莎七参数法坐标转换内、外符合精度
根据表4可以计算出:

 
由表2、表3和表4,可以得到如下结论:

第一,在大区域空间直角坐标转换当中,二次及三次多项式拟合转换法能够满足坐标转换的精度要求;

第二,二次及三次多项式拟合法与布尔莎七参数法转换精度相当;

第三,相比而言,三次多项式拟合法较二次多项式精度要高。

2 坐标转换多项式拟合法适用性研究
前面通过具体的转换算例验证了多项式拟合法(二次及三次多项式)在三维空间直角坐标转换当中的可行性

。针对该算法在坐标转换过程当中的适用面积大小的情况,本文将通过模拟的空间坐标数据,分别运用二次

及三次多项式拟合法进行转换,从中归纳得出多项式拟合算法的适用区域。

2.1 空间坐标数据模拟
由于当前研究所具备的空间坐标大都来自于小范围的控制网,为了获得大区域的三维空间坐标数据,以中国

中东部(大致北纬20°-40°,东经100°-120°度范围)地区为研究对象,其面积约为400多万平方公里,模拟

出该区域的三维空间直角坐标与其相对应的大地坐标。具体模拟的步骤与方法如下:

(1)根据一定的经纬度间隔(本例为10′间隔)划分出规则的经纬度格网,总计14 641个格网节点,亦即14 641

个同时具有西安80与国家2000坐标系下的空间直角坐标与大地坐标数据;

(2)根据起始经度、纬度及划分的格网间隔,将各格网节点的大地坐标值分别赋值给特定的矩阵(其中,本例

假定为在椭球面上进行投影,令其大地高值H皆为0);

(3)根据西安80椭球参数与国家2000大地坐标的椭球投影参数,利用式(5),分别计算出各格网节点在两套坐

标系下的三维空间直角坐标值(Xi80,Yi80,Zi80)与(Xi2000,Yi2000,Zi2000)。[4]

 
 
(4)为了使得模拟出的空间坐标数据更加贴近实际情况,在计算出的两套空间直角坐标值中,依据一定的随机

性加入随机误差值。本例中西安80及国家2000空间直角坐标值加入的随机误差皆服从正态分布,其添加的依

据分别为:

 
(5)将加入随机误差值后的两套三维空间直角坐标值,采用迭代算法分别计算出其在各自椭球下相应的大地

坐标值(Bi80,Bi80,Bi80)及(Bi2000,Bi2000,Bi2000);

(6)空间直角坐标值与大地坐标值的输出。

2.2 二次多项式拟合法适用区域
为总结出二次多项式拟合法在坐标转换过程中的适用面积,本例通过模拟出的三维空间直角坐标数据进行编

程计算,归纳出二次多项式法的转换规律,如图2所示:

 图2 二次多项式拟合转换法不同面积转换误差分布
图2 二次多项式拟合转换法不同面积转换误差分布   下载原图

从中可以看出三维空间直角坐标转换中,二次多项式拟合法在区域面积达到15.68万平方公里时,X,Y,Z三个

方向坐标转换的误差分别可以达到5 mm、4 mm及4 mm,即面积大于15.68万平方公里情况下,二次多项式拟合

法能够达到坐标转换的精度。

2.3 三次多项式拟合法适用区域
同样,为了总结出三次多项式拟合法在空间直角坐标转换中的适用面积,本例采用模拟三维空间直角坐标数

据进行编程计算,归纳出其转换规律,如图3所示:

 图3 三次多项式拟合转换法不同面积转换误差分布
图3 三次多项式拟合转换法不同面积转换误差分布   下载原图

从中可以看出三维空间直角坐标转换中,三次多项式拟合法在区域面积达到6.350 4万平方公里时,X,Y,Z三

个方向坐标转换的误差分别可以达到3 mm、2 mm及4 mm,即面积大于6.350 4万平方公里情况下,三次多项式

拟合法能够达到坐标转换的精度。

3 结束语
上述算例研究表明,多项式拟合算法能够用于大区域不同空间直角坐标之间的转换。不同坐标系下的空间直

角坐标转换,当区域面积达到15.68万平方公里时,采用二次多项式拟合法能够达到坐标转换的精度;而三次

多项式拟合法则能够适用于区域面积达到6.350 4万平方公里以上的空间直角坐标转换。